Historia De La Geometría

Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama
de las matemáticas que se ocupa de las propiedades
del espacio. En su forma más elemental, la geometría
se preocupa de problemas métricos como el cálculo
del área y diámetro de figuras planas y de la superficie
y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la
geometría son la geometría analítica, geometría
descriptiva, topología, geometría de espacios
con cuatro o más dimensiones, geometría fractal,
y geometría no euclidiana.

Geometría demostrativa primitiva

El origen del término geometría es una descripción
precisa del trabajo de los primeros geómetras, que
se interesaban en problemas como la medida del
tamaño de los campos o el trazado de ángulos
rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo
de geometría empírica, que floreció en el Antiguo
Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y
sistematizado por los griegos.

 

 

 

 

 

 En el siglo VI a.C. el matemático 

 

 

Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría
científica al demostrar que las diversas leyes
arbitrarias e inconexas de la geometría empírica
se pueden deducir como conclusiones lógicas
de un número limitado de axiomas, o postulados.
Estos postulados fueron considerados por Pitágoras,
y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo,
en el pensamiento matemático moderno se consideran
como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y
aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente
afirmación: "una línea recta es la distancia más corta
entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las
propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se
puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas.

Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los
ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos
ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras).

La geometría demostrativa de los griegos, que se
ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes
figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el
matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos".
El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones,
ha servido como libro de texto básico de geometría
hasta casi nuestros días.

Primeros problemas geométricos

Los griegos introdujeron los problemas de
construcción, en los que cierta línea o figura
debe ser construida utilizando sólo una regla
de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos
son la construcción de una línea recta dos veces
más larga que una recta dada, o de una recta que
divide un ángulo dado en dos ángulos iguales.

Tres famosos problemas de construcción que datan
de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas
generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos:
la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble
al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo
(construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado)
y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales)
 Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás
 y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente
demostrada hasta 1882.

 

 

 

 

 

 

 Los griegos, y en particular 

 

Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas
conocidas como cónicas y descubrieron muchas de
sus propiedades fundamentales. Las cónicas son
importantes en muchos campos de las ciencias físicas;
por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol
son fundamentalmente cónicas.

Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo
un considerable número de aportaciones a la geometría.
Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas
así como la superficie y el volumen de sólidos limitados
por superficies curvas, como paraboloides y cilindros.
También elaboró un método para calcular una aproximación
del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la
circunferencia de un círculo y estableció que este
número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.

Geometría analítica

La geometría avanzó muy poco desde el final de
la era griega hasta la edad media. El siguiente paso
importante en esta ciencia lo dio el filósofo y
matemático francés René Descartes, cuyo tratado
"El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo
época. Este trabajo fraguó una conexión entre la
geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar
los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un
fundamento de la geometría analítica, en la que las
figuras se representan mediante expresiones algebraicas,
sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación
de las propiedades de las figuras geométricas que no varían
cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

Modernos avances

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclidiana. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional.

 

 

 

 

 

 

 

 

Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.

 

 

 

 

 También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.

 

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.